La importancia de la orientación de los edificios es mucho mayor de lo que se entiende por la palabra Orientación (mirar en dirección al amanecer) […] Que la orientación en un sentido restringido no fue el objetivo principal de los egipcios, sino el deseo de hacer que sus edificios cuadraran con los costados cardinales de la tierra y el cielo, lo demuestran sus inscripciones una y otra vez […] De todas las formas posibles el cubo y el domo son las más sagradas […] Combinarlas ha sido el problema principal de los arquitectos a través de los siglos”.
W. R. Lethaby

Andrea Pozzo, bóvedas pintadas en la Iglesia de San Ignacio, Roma, 1685-1694 Foto: Bruce McAdam

“Encontrar la cuadratura del círculo” –construir una figura cuadrada de la misma superficie que la de un círculo dado- es un antiguo problema matemático jamás resuelto y de hecho irresoluble. Su imposibilidad fue demostrada en el siglo XIX y reside en la naturaleza irracional de Pi (la proporción entre radio y circunferencia) que hace que ambas figuras sean inconmensurables. A pesar de esto algunas personas de convicción insisten, y si bien jamás lograrán cuadrar el círculo al menos podrán aproximarse de modo infinito. Esto es en sí un gran gesto de humanidad y recuerda lo que Emmanuel Levinas llamó el deseo absoluto del Otro, un deseo que jamás alcanza su satisfacción.

En la teología y la filosofía existen diversos equivalentes de este dilema. Uno de los más famosos lo expuso Nicolás de Cusa en el siglo XV. En su De Docta Ignorantia [1440] y su De Circuli Quadratura [1450] Cusa ilustró la perfección de Dios y los límites del conocimiento humano recurriendo al círculo y al cuadrado. Aunque de gran complejidad y a riesgo de deformarlo su argumento podría interpretarse así: en tanto que cada punto de una circunferencia es equidistante a su centro, el círculo es una figura perfecta y por lo tanto representación ideal de la verdad, la divinidad o el absoluto. Debido a su mayor irregularidad el cuadrado es, por otro lado, representación de la imperfección humana y su intelecto. Al inscribir un cuadrado dentro de un círculo, el primero solo tocaría al segundo en cuatro de sus puntos, es decir de manera fugaz. No importa que tanto el cuadrado se esfuerce, por así decirlo, en multiplicar sus lados y se transforme en pentágono, hexágono, octágono, etc., este seguirá tocando al círculo solo en un número limitado de puntos y nunca en su totalidad. En otras palabras, no importa que tanto el intelecto humano se acreciente y multiplique sus “puntos de contacto” con Dios o la verdad, este jamás llegará a comprenderlos plenamente.

Detalles del frontispicio de Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni de Gregorio de San Vicente [Amberes, 1647].

Los arquitectos tenemos gran familiaridad con este tipo de problemas, especialmente en la práctica cotidiana. ¿Quienes no hemos comprobado en momentos de ocio y sin importar el número de zooms que los círculos dibujados por computadora son en realidad polígonos de lados infinitos? De forma menos banal también hemos intentado literalmente cuadrar al círculo, y de hecho hemos sido más exitosos que matemáticos, filósofos y teólogos. La arquitectura más que aquellas disciplinas es capaz de mediar entre los mundos de la realidad y las ideas de forma sustancial o duradera. Los edificios religiosos en especial garantizan el nivel de trascendencia negado a la mera inteligencia teórica. Las estupas indias, los complejos rituales chinos, las mezquitas islámicas, las iglesias cristianas, etc., representan muchas veces instancias concretas de polígonos inscritos en círculos o viceversa

En su libro clásico Architecture, Mysticism and Myth, William Richard Lethaby dedicó un capítulo entero a lo que podría llamarse la versión arquitectónica de la cuadratura del círculo. (1) Titulado Four Square dicho capítulo es un recorrido por “cuadraturas” míticas y construidas alrededor del mundo que enfatiza las correspondencias entre arquitectura, territorio y cosmos. Lethaby también abunda en las constantes combinaciones entre círculo y cuadrado, y por supuesto en sus versiones tridimensionales: el domo y el cubo. Uno de los ejemplos más famosos de esas combinaciones lo representan los cruceros de las iglesias. Aquí la cuadratura se da a través de una elaborada transición de elementos en donde el domo -representación de la bóveda celeste- desciende gradualmente en forma de tambor, pechinas, arquitrabes, pilares y demás agentes intermedios, transformando una perfecta circularidad en una categórica ortogonalidad.

Baldessare Peruzzi, Dibujo del crucero de la Basílica de San Pedro, c. 1530.

El término “cuadrar” (to square) no significa sin embargo únicamente la combinación de dos figuras geométricas. Como lo prueba el lenguaje cotidiano cuadrar significa también -y de forma más amplia- una adecuación o ajuste entre objetos o circunstancias distintas y tiene connotaciones tanto prácticas como epistemológicas. En la arquitectura el ajuste o coordinación entre una situación determinada y un contexto mayor ha sido llamado de diversas maneras: simetría, proporción, euritmia, parataxis, decoro, propiedad, comodidad, confort, función, etc. Independientemente de sus significados específicos lo que estas palabras revelan es una idea de arquitectura como agente de mediación entre distintas situaciones, elementos o planos de realidad. Regresando al ejemplo arquetípico al que el término cuadratura comúnmente se asocia (mediación entre cielo y tierra) uno podría extender su significado más allá de la geometría y afirmar, por ejemplo, que la arquitectura mesoamericana realizaba cuadraturas mediante el establecimiento de relaciones visuales y analógicas con otros edificios, el paisaje y el cielo. Los juegos de pelota en especial hacían vívidas estas relaciones toda vez que la pelota misma era una metáfora de los astros en movimiento.

Izquierda: Juego de pelota con Venus emergiendo de su estructura. Derecha: plataforma “cuadrando” al sol (Códice Vindobonensis Mexicanus I).

En un ámbito más cercano, el vestíbulo de la casa de Luis Barragán efectuaba un tipo de cuadratura distinto pero de gran sutileza. Aquí la ventana en lo alto del descanso capturaba la luz matutina que descendía junto a la escalera y reverberaba en los muros laterales para finalmente ser absorbida por el obscuro piso de piedra. En ese memorable espacio el cuadro de hoja de oro de Mathias Goeritz jugaba un papel muy especial ya que al estar orientado precisamente al sur transformaba la circularidad del sol en un cuadrado de análogo brillo.

Durante el siglo XVI, sin embargo, surgió una modalidad pictórica que eventualmente se apropió del término “cuadratura”. (2) Se trataba de otro intento por vincular el ámbito divino y el terrenal pero esta vez de forma más literal. Hacia finales de siglo XV varios pintores y arquitectos italianos, especializados en la recién inventada técnica de la perspectiva, buscaban -con mayor vehemencia y creciente éxito- efectos ilusionistas en sus murales y edificios con el objeto de que los espacios parecieran extenderse más allá de las superficies pictóricas. Fue quizás Mantegna el primer artista en realizar una perspectiva de costruzione legittima en la parte interna de un techo “rompiendo” su superficie y creando un efecto de continuidad vertical. Pocos años después Rafael perfeccionó esa técnica en los corredores del Palacio Vaticano pero fueron sus colaboradores, Peruzzi y Giulio, quienes dieron el paso decisivo en la creación de frescos ilusionistas que envolvían totalmente al espectador. La quadratura propiamente dicha tuvo una mayor difusión en la arquitectura religiosa siendo Coreggio uno de los primeros en pintar asunciones divinas y visiones celestiales en las bóvedas de las iglesias. El barroco hizo amplio uso de ella para fines de persuasión y propaganda religiosa, además de que añadió relieves, esculturas y decoraciones que hacían imperceptible la transición entre niveles de construcción y representación. Para finales del siglo XVII, Andrea Pozzo realizó las obras culminantes de la quadratura italiana, a la vez que sistematizó su teoría y sirvió de enlace para el extraordinario desarrollo de esa técnica en Alemania. (3)

A pesar de que el término quadratura deriva de las retículas cuadriculadas usadas para proyectar las imágenes en los techos de las iglesias, estas retículas eran en sí mismas instrumentos de mediación entre la idea y la realidad y por lo tanto una variación diluida del perenne problema filosófico de la cuadratura del círculo. En la versión pictórica, sin embargo, uno se encuentra en un territorio en donde la delgada pero fundamental línea que separa la ilusión de la realidad, el esteticismo de la orientación, la inmanencia de la trascendencia, es demasiado ambigua. (4)

Izquierda: Coreggio, Visión de San Juan Evangelista (detalle), iglesia de San Juan Evangelista, Parma, 1520-4. Derecha: Caruso St. John, Brick House, Londres, 2005.

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1. W. R. Lethaby, Architecture, Mysticism and Myth [1892] (Nueva York: Dover, 1982), 53-66.
2. Ver Ingrid Sjostrom, Quadratura: Studies in Italian Ceiling Painting (Estocolmo: Almqvist & Wiksell International, 1978).
3. Ver Karsten Harries, The Bavarian Rococo Church: Between Aestheticism and Faith (New Haven: Yale University Press, 1983).
4. Ibid.